GÖDEL (K.)

GÖDEL (K.)
GÖDEL (K.)

Issue de la pensée de Boole, de Cantor et de Frege au cours de la seconde moitié du XIXe siècle, la logique mathématique connaît ses premiers développements grâce à Hilbert et à Russel et Whitehead (premier quart du XXe siècle). Mais c’est à Kurt Gödel plus qu’à tout autre qu’elle doit de prendre rang, en l’espace d’une décennie (les années trente), parmi les sciences mathématiques modernes. Gödel n’a pas seulement résolu certains des principaux problèmes soulevés par la logique mathématique à ses débuts, jetant ainsi sur l’ensemble des mathématiques une lumière toute nouvelle; il a également fourni à sa discipline un corpus de concepts, de méthodes et de résultats dont elle tire à ce jour une bonne part de sa substance.

Mathématiques et philosophie

Gödel est né à Brno, l’ancienne capitale de la Moravie (alors rattachée, sous le nom de Brünn, à l’Autriche-Hongrie), le 28 avril 1906. Sa famille, de langue allemande, possédait une petite usine de textile.

La scolarité de Gödel à Brno fut marquée par l’intérêt qu’il portait aux mathématiques, mais plus encore à la physique et à la philosophie. D’abord inscrit en physique à l’université de Vienne (1924), il suivit les cours de Furtwängler en théorie des nombres, et passa bientôt en mathématiques (1926). À la même époque, il commença à fréquenter le cénacle philosophique constitué autour de Moritz Schlick, qui allait connaître la célébrité sous le nom de cercle de Vienne. Gödel n’était cependant qu’un participant occasionnel, et il ne fit jamais complètement sienne la doctrine du groupe, le positivisme logique , dont il allait au contraire, à la maturité, s’éloigner définitivement.

En 1929, Gödel établit la complétude du calcul des prédicats, résultat qui lui valut le doctorat en 1930. La même année, il obtenait son premier théorème d’incomplétude, qui parut, accompagné du second, en 1931. Ces résultats, d’une portée immense, firent aussitôt de Gödel, âgé de vingt-cinq ans, un mathématicien célèbre. Nommé Privatdozent à Vienne en 1933, il s’illustra au cours des années qui suivirent dans presque toutes les branches de la logique telle qu’elle se définissait à l’époque. Le plus grand résultat de cette période est la non-contradiction relative de l’axiome du choix et de l’hypothèse généralisée du continu (1938).

L’année 1933-1934 et une partie de l’année suivante furent passées à l’Institute for Advanced Study à Princeton. Gödel y retourna en 1938, après s’être marié, redoutant apparemment, s’il rentrait à Vienne, d’être enrôlé dans l’armée allemande malgré sa constitution fragile; il décida de rester à Princeton, où il s’était plu, semble-t-il, dès son premier séjour. Il ne devait pratiquement pas quitter l’Institute, dont il fut membre associé à partir de 1939, membre permanent en 1946, professeur, enfin, de 1953 à sa retraite en 1976.

Au cours des années 1938 à 1944, il poursuivit son activité mathématique, sans toutefois publier de résultat nouveau, bien qu’il en obtînt plusieurs.

Vers 1945, les préoccupations philosophiques commencèrent à l’emporter. L’étude de la conception kantienne du temps et de l’espace rapprochée de la théorie de la relativité, dont il était question au cours de fréquentes conversations avec Einstein, son collègue à l’Institute, conduisirent Gödel à d’importants travaux en physique (1947-1950), comprenant une nouvelle solution aux équations de la gravité, qui fondait une conception cyclique du temps.

De 1951 à 1958 environ, Kurt Gödel se consacra essentiellement à la philosophie des mathématiques, approfondissant sa réflexion sur la portée épistémologique des grands résultats de la logique.

À partir de 1958, il porta son attention sur la philosophie «fondamentale», dont la spécificité, par rapport à la démarche scientifique, lui était devenue évidente. C’est à une réflexion sur Husserl et à l’élaboration de son propre système de pensée que Gödel consacra désormais la plus grande partie de son énergie.

S’il est incontestable que la seconde partie de sa vie (à partir de 1939 environ) fut pour Gödel moins fertile en découvertes spectaculaires et en publications, on ne saurait l’attribuer à quelque affaiblissement intellectuel, ni à quelque malheur caché. Au contraire, l’image qu’il offrait à Princeton était celle du savant tranquille, plongé dans son travail, à l’abri des grandes détresses intellectuelles et morales. Il est vrai qu’il souffrait d’une santé fragile, qui le préoccupait souvent et le ralentissait parfois sensiblement dans son effort. Mais jusqu’au bout il restera le maître incontesté de sa discipline, prodiguant avec une absolue générosité les conseils et les encouragements que les logiciens, débutants ou confirmés, venaient solliciter des quatre coins du monde. Ceux qui l’ont connu sont restés frappés par son charme, son esprit, le caractère universel de son intelligence. Scrupuleux à l’extrême dans l’expression écrite de sa pensée, il manifestait dans la conversation la plus grande liberté, se livrant à l’occasion, sur maint sujet, à des spéculations fort peu orthodoxes, auxquelles il accordait, avec toute la finesse d’un grand esprit, juste ce qu’il fallait de sérieux.

Cette versatilité n’était que la manifestation d’une profonde vocation à l’universel. Premier logicien de son temps, Gödel, plus soucieux de questions vraies que de résultats brillants, plus attentif aux exigences de son propre esprit qu’à celles de la recherche scientifique stricto sensu , s’est toujours refusé à n’être qu’un spécialiste.

À sa mort, qui survint le 14 janvier 1978, il laissait impubliée une masse de notes et de résultats mathématiques. De sa longue réflexion philosophique, il n’a livré que quelques fragments, recueillis et partiellement publiés par le mathématicien et philosophe Hao Wang, confident intellectuel des dernières années. L’Institute conserve les traces de cet immense travail, dont se dégagera peut-être un jour la pleine dimension d’un esprit exceptionnel. Gödel laisse une des grandes œuvres mathématiques du siècle, mais aussi l’image sublime de l’homme silencieux, tout à sa quête inachevée.

L’œuvre

Les travaux de Gödel ont été exposés et situés dans leur contexte mathématique et épistémologique (cf. LOGIQUE MATHÉMATIQUE, HILBERT, fondements des MATHÉMATIQUES et problèmes de HILBERT). Aussi nous contenterons-nous ici d’un bref aperçu.

Le premier grand résultat est celui de la complétude du calcul des prédicats. Dans leur Grundzüge der Theoretischen Logik , paru en 1928, Hilbert et Ackermann, poursuivant le «programme» de formalisation des mathématiques, posent la question suivante: étant donné un système formel défini par un langage, des axiomes, des règles de déduction et une notion d’interprétation dans certaines structures mathématiques, est-il vrai que toute assertion vérifiée dans toute interprétation est formellement déductible des axiomes (la réciproque étant quasi évidente)? La réponse affirmative qu’apporte Gödel confirme le caractère complet des règles de déduction formelle énoncées par Frege, leur ôtant a posteriori leur caractère arbitraire, et ouvre la voie au double développement de l’étude syntaxique des propositions non réfutables et de l’étude sémantique des interprétations vérifiant un ensemble donné d’assertions (étude qui a pris le nom de théorie des modèles ). Une conséquence immédiate mais fondamentale du théorème de complétude est le théorème de compacité , qui exprime le caractère fini de la propriété: l’ensemble X d’assertions est vérifié dans une certaine interprétation.

Les théorèmes d’incomplétude constituent la deuxième grande découverte de Gödel. Conformément à son «programme», Hilbert cherchait à démontrer (de manière finitiste) la consistance d’un système formel de l’analyse. Un rapide examen convainquit Gödel de l’impossibilité d’une telle démonstration. Mieux, il prouva que tout système formel assez puissant pour inclure un minimum d’arithmétique, de théorie des ensembles ou de théorie des types comprend des propositions indécidables: par exemple, il existe une proposition de l’arithmétique que les axiomes de Peano ne peuvent ni démontrer ni réfuter, et qui est vraie dans l’ensemble des entiers naturels.

Ce premier théorème d’incomplétude s’exprime formellement de telle manière qu’il est possible de transformer sa démonstration en dérivation formelle. D’où le second théorème d’incomplétude : dans tout système S vérifiant certaines conditions minimales, la consistance de S ne peut être formellement établie. Ces résultats, aux conséquences épistémologiques considérables, marquaient les limites internes du formalisme, mettaient fin aux espoirs finitistes de Hilbert, et réfutaient en même temps son critère d’existence des objets mathématiques, mesurée à la consistance de l’assertion de leur existence.

Dès 1936, Gentzen donnait une démonstration de la consistance de l’arithmétique; d’autres allaient suivre. Mais chacune met (nécessairement) en jeu des mécanismes déductifs non formalisables dans le système dont la consistance est étudiée. Dans son article de 1958, où il livre notamment une nouvelle preuve de la consistance de l’arithmétique, Gödel va jusqu’à interpréter son (second) théorème d’incomplétude comme exprimant la nécessité, pour une telle preuve, de faire intervenir des notions abstraites engageant la signification (et non les seules propriétés perceptives , concrètes) des combinaisons finies de symboles du système.

Les résultats d’incomplétude conduisaient également à la définition générale de fonction récursive, par Herbrand et Gödel, et à l’élucidation par Turing de la notion de calculabilité , qui permettait de dégager la véritable généralité des théorèmes de Gödel.

C’est en théorie des ensembles, à l’axiomatisation de laquelle il contribua, que Gödel fit sa troisième grande découverte, en apportant à une célèbre question de Cantor, reprise par Hilbert, une surprenante réponse, qui constituait le premier résultat de non-contradiction relative . Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l’axiome du choix et de l’hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d’univers constructible employée par Gödel dans ce travail est devenue l’un des principaux outils de la théorie des ensembles.

À ces trois résultats fondamentaux s’ajoutent de nombreuses contributions, notamment à l’étude des rapports entre les systèmes intuitionnistes et les systèmes classiques. La dernière publication (1958) apporte une interprétation constructive de la théorie des nombres classique.

Sur le plan philosophique, il convient, au moins provisoirement, de distinguer la réflexion gödelienne sur les mathématiques de la recherche «fondamentale» qu’il a menée à la fin de sa vie.

Gödel assignait à sa philosophie des mathématiques une place originale, puisqu’il lui attribuait un rôle décisif dans le processus même de ses découvertes mathématiques. Dans une lettre de 1967 à Hao Wang, Gödel voit dans l’étrange cécité manifestée par ses prédécesseurs à l’égard de la complétude l’effet de leur obstination à n’admettre de raisonnement non finitiste que «justifiable» ou «interprétable» en termes finitistes. Il ajoute: «Ma conception objectiviste des mathématiques et de la métamathématique en général, et du raisonnement transfini en particulier, n’a pas joué dans mes autres travaux de logique un rôle moins fondamental.» L’objectivisme dont il parle est la doctrine, célèbre sous le nom de platonisme , qui consiste à affirmer que les objets mathématiques, quoique abstraits, existent réellement et indépendamment de l’effort de notre esprit pour les connaître. L’activité mathématique n’est donc pas une production de concepts et de relations entre ces concepts, mais plutôt la découverte d’une réalité comparable à celle du monde physique. Il conviendrait, pour demeurer fidèle à la pensée de Gödel, de nuancer et d’enrichir ce point de vue. Il n’en demeure pas moins qu’il s’oppose aussi bien au formalisme qu’à l’intuitionnisme et à l’empirisme.

Quant à la philosophie générale de Gödel, elle ne devait rien au positivisme logique, ni de manière générale à la philosophie analytique dont, homme de Vienne et de Princeton, il paraissait une victime toute désignée – il tenait en piètre estime cette forme de pensée. Des recherches que la mort interrompit, nous pouvons seulement dire qu’elles étaient surtout nourries, du moins à l’origine, de Platon, de Leibniz, de Kant et enfin de Husserl, beaucoup pratiqué à partir de 1949. Seul un patient déchiffrage des notes léguées à l’Institute fera peut-être un jour la lumière sur ce que fut la dernière méditation du grand logicien.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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